Curiosidades de los cumpleaños (parte 2): la paradoja

Siguiendo la entrada anterior sobre las curiosidades de los cumpleaños y viendo que no es que os hayáis mojado mucho con las respuestas ahí tenéis la, en principio, sorprendente respuesta:

La probabilidad de que en un grupo de 23 personas existan dos que comparten cumpleaños es del… 50%

Es decir, prácticamente como tirar una moneda a cara o cruz.

Si aumentamos el número a 41 personas entonces la probabilidad aumenta hasta un 90%

Es decir, un acierto casi seguro. Si no me crees antes de pasar a explicar más cosas podemos tratar de llevar a cabo una prueba experimental.

Prueba experimental

La prueba consiste en coger a un grupo de personas de forma aleatoria y comparar sus fechas de nacimiento, cuando vayáis por 23 tendréis una buena probabilidad de haber encontrado una coincidencia… cuando vayáis por 41 la habréis encontrado casi seguro.

¿De dónde saco el grupo de personas?… pues antiguamente se cogía una enciclopedia por un punto aleatorio y se comparaban las fechas de los personajes públicos que allí aparecían. Hoy con el tema de las redes sociales la cosa puede ser más divertida… vete a la lista de tus amigos de Facebook y compara la fecha de cumpleaños de los mismos… puede que te lleves alguna sorpresa.

Recuerda que la lista tiene que ser aleatoria, no excluyas a gente si ya sabes que sus cumpleaños van a coincidir, ni incluyas gemelos 😉

En mi caso el número de amigos con fecha de cumpleaños publicadas sólo sumaban 25 y no había ninguna coincidencia, pero siguiendo la lista con los amigos de mis amigos (sólo incluí a los que conocía) la coincidencia apareció al llegar a 29… y son dos personas de Los Rosales que seguro que desconocen este hecho.

La paradoja

Este hecho es comúnmente conocido como la Paradoja del cumpleaños, aunque realmente no es una paradoja ya que no existe una contradicción lógica, sino que más bien lo que ocurre es que las probabilidades que surgen de la intuición están en completo desacuerdo con las que podemos obtener de forma matemática.

Y de dónde viene esta paradoja, pues del hecho de tratar de aproximar la probabilidad de coincidencia pensando en una persona sola. Es decir, intuitivamente piensas que si hay 23 personas y 365 días la probabilidad de tener el mismo cumpleaños sería 23/365 = 0,063, es decir, un 6,3%. Pero esa sería la probabilidad de que tu cumpleaños en concreto coincidiera con el cumpleaños de cualquiera de esas 23 personas. Aquí asumimos como simplificación que esas 23 personas tienen cumpleaños distintos, en realidad la ecuación para hacer este cálculo es la siguiente:

Pero es que en realidad de lo que estamos hablando es que dos personas cualesquiera de esas 23 compartan cumpleaños… y si bien sólo hay 23 personas, posibles parejas entre esas 23 personas son bastantes más. La combinatoria dice que el número de posibilidades de coger n elementos en grupos de k (sin repeticiones) es:

Entonces para n=23 y k=2 obtenemos el valor de 253:

Es decir, existen 253 posibles pares de personas en un grupo de 23… y sólo hay 365 cumpleaños diferentes, por lo que el valor de 50% ya no empieza a ser tan descabellado.

Cálculo matemático de las probabilidades

Ahora nos queda realmente calcular la probabilidad de que haya dos personas que compartan cumpleaños. En realidad se comprueba de forma mucho más sencilla calculando la probabilidad contraria, es decir, calculando la probabilidad de que nadie comparta cumpleaños y teniendo en cuenta que la probabilidad de dos sucesos independientes es la multiplicación de sus probabilidades.

Así que lo que haremos es dividir nuestro problema en 23 problemas independientes y calcular las siguientes probabilidades:

  • P1 = probabilidad de que el cumpleaños de la persona 1 no coincida con el resto de personas analizadas. Como aún no hemos analizado a nadie más P1 = 1.
  • P2 = probabilidad de que el cumpleaños de la persona 2 no coincida con el resto de personas analizadas. Sólo hay una posibilidad, que coincida con el cumpleaños de la persona 1, por lo tanto P2 = 364/365
  • P3 = probabilidad de que el cumpleaños de la persona 23 no coincida con el resto de personas analizadas. Como ya hemos analizado dos hay 2 posibilidades de coincidencia, por lo tanto P3 = 363/365
  • P23 =probabilidad de que el cumpleaños de la persona 3 no coincida con el resto de personas analizadas. P23 = 343/365

En definitiva la probabilidad de que NO haya una coincidencia en un grupo de 23 personas es de:

Por lo tanto la probabilidad de que haya una coincidencia es de 1-0,493 = 0,507, tal y como decíamos al principio de la entrada. La ecuación se puede generalizar para cualquier grupo n de personas de la siguiente forma:

Recuerda que es la probabilidad de NO coincidencia, y la probabilidad de coincidencia se calcula como 1-P(n). Poniendo estos cálculos en la hoja de cálculo obtenemos esta bonita gráfica en la que vemos que la probabilidad para 23 personas ronda el 50% y para 41 sube hasta el 90%. Sorprendente ¿no?

Curiosidades de los cumpleaños (parte 1)

Por primera vez voy a hacer una entrada por fascículos, pero es que se trata de una paradoja que no todo el mundo conoce, y si la comentara en una única entrada estropearía toda la posible sorpresa. La cuestión es la siguiente:

¿cuál es la probabilidad de que en un grupo de 23 personas existan dos que comparten cumpleaños?

Cuando decimos compartir cumpleaños nos referimos a día y mes, dejando de lado el año. Normalmente a los humanos se nos da un poco mal eso de calcular probabilidades a ojo, pero no hace falta dar un número, podemos decir si es “muy grande”, “muy pequeña”, “casi imposible”. Una vez respondida la primera pregunta podemos ampliarla de la siguiente forma:

¿Cuál sería la probabilidad si en vez de 23 personas fueran 41?

¿Aumentaría considerablemente?, ¿aumentaría muy poco?, etc. Responderme con vuestros cálculos y en unos días publico la solución.

PD. Los que ya conozcáis el resultado abstenerse de comentarlo y los que no lo conozcáis tampoco tiréis de Google para resolverlo, que así no tiene mérito.